(一)直线的方向向量与*面的法向量车强-精选文档

发布于:2021-10-21 17:17:27

3.2 立体几何中的向量方法 第一课时 直线的方向向量与*面的法向量 如何确定空间内任意一条直线的位置? —— 一定点和方向向量 如何确定空间内任意一个*面的位置? —— 一点和两不共线向量 思考: 给一个定点和一个向量能确定一个 *面在空间中的位置吗? 1、*面的法向量: 所在的直线与*面垂直的向量。 注(1)一个*面的法向量可以有无数个, 它们是共线向量; (2)空间中过定点A,以向量 a 为法向量的*面是唯一确定的。 二、直线的方向向量与*面的法向量在确定直线、 *面位置关系中的应用 1 、若两直线 l 、 l 的方向向量分别是 u 、 u ,则 1 2 1 2 l l u u ,l l u u . 1// 2 1? 2 1// 2? 1? 2? 2 、若两*面 ? 、 ? 的法向量分别是 v 、 v ,则有 1 2 ? // ?? v v ,?? ?? v v . 1// 2 1? 2 l// ? 或 l? ? ? u ? v ,l? ? ? u // v . 3 、若直线 l 的方向向量是 u ,*面的法向 v ,则 四、例题讲解 例 1 、设 a 、 b 分别是两直线 l 、 l2 的方向向量, 1 根据下列条件判断 l 与 l2 的位置关系: 1 ( 1 ) a ? ( 2 , ? 1 , ? 2 ), b ? ( 6 , ? 3 , ? 6 ); ( 2 ) a ? ( 1 , 2 , ? 2 ), b ? ( - 2 , 3 , 2 ); ( 3 ) a ? ( 0 , 0 , 1 ), b ? ( 0 , 0 , ? 3 ). (4)a = (-2,1,4), b = (6,3,3) 四、例题讲解 例 2 、设 u 、 v 分别是*面 ? 、 ? 的法向量,根据 下列条件判断*面 ? 与 ? 的位置关系: ( 1 ) u ? ( ? 2 , 2 , 5 ), v ? ( 6 , ? 4 , 4 ); ( 2 ) u ? ( 1 , 2 , ? 2 ), v ? ( ? 2 , ? 4 , 4 ); ( 3 ) u ? ( 2 , ? 3 , 5 ), v ? ( ? 3 , 1 , ? 4 ). 四、例题讲解 例 3 、设 u 是*面 ? 的法向量 ,a 是直线 l 的方向向 根据下列条件判断*面 ? 与直线 l 的位置关系 ( 1 ) u ? ( 2 , 2 , ? 1 ), a ? ( ? 3 , 4 , 2 ); ( 2 ) u ? ( 0 , 2 , ? 3 ), a ? ( 0 , ? 8 , 12 ); ( 3 ) u ? ( 4 , 1 , 5 ), a ? ( ? 2 , 1 , 0 ). 四、例题讲解 已知*面 ? 经过三点 A ( 1 ,2 , 3 ) 、 B ( 2 ,0 ,? 1 ) 、 C ( 3 ,? 2 ,0 ), 试求*面 ? 的一个法向量 . 解析: ? A ( 1 , 2 , 3 ) 、 B ( 2 , 0 , ? 1 ) 、 C ( 3 , ? 2 , 0 ) , ? AB ? ( 1 , ? 2 , ? 4 ), AC ? ( 2 , ? 4 , ? 3 ). 设*面 ? 的法向量是 n? ( x ,y ,z ). 依题意,应有 n ? AB ? 0 且 n ? AC ? 0 ,即 x ? 2 y ? 4 z ? 0 , ? 解得 z ? 0 且 x ? 2 y , 令 y ? 1 , 则 z ? 2 . ? 2 x ? 4 y ? 3 z ? 0 , ? ? *面 ? 的一个法向量是 n?(2 , 1 ,0 ). *面的法向量的求法 若要求出一个*面的法向量的坐标,一般要建 立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般 步骤如下: ( 1 )设出*面的法向量为 n ? (x, y, z). ( 2 ) 找出 ( 求出 ) *面内的两个不共线的 向量的坐标 a?( a ,b ,c ), b?( a ,b ,c 1 1 1 2 2). 2 ( 3 ) 根据法向量的定义建立 关于 x ,y ,z 的方程组 ? n ?a?0 , ? ? ? n ? b?0 . ? (4 )解方程组 ,取其中的一个解,即得 法向量。 练*: 已知点 A(3,0,0)、 B(0,4,0)、 C(0,0,5), 求*面 ABC 的一个单位法向量。 20 15 12 答案: n0 ? ( , , ) 769 769 769 ?20 ?15 ?12 或 n0 ? ( , , ). 769 769 769

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