江苏省南京市联合体2016年中考数学二模试卷附答案解析

发布于:2021-06-18 15:19:43

2016 年江苏省南京市联合体中考数学二模试卷
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分,在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是 符合题目要求的) 1.|﹣2|的值是( ) A.﹣2 B.2 C. D.﹣ 2.已知某种纸一张的厚度约为 0.0089cm,用科学记数法表示这个数为( ) A.8.9×10﹣5 B.8.9×10﹣4 C.8.9×10﹣3 D.8.9×10﹣2 3.计算 a3?(﹣a)2 的结果是( ) A.a5 B.﹣a5 C.a6 D.﹣a6 4.如图,矩形 ABCD 的边 AD 长为 2,AB 长为 1,点 A 在数轴上对应的数是﹣1,以 A 点为圆心,对 角线 AC 长为半径画弧,交数轴于点 E,则这个点 E 表示的实数是( )

A. +1 B. C. ﹣1 D.1﹣ 5.已知一次函数 y=ax﹣x﹣a+1(a 为常数),则其函数图象一定过象限( ) A.一、二 B.二、三 C.三、四 D.一、四 6.在△ABC 中,AB=3,AC=2.当∠B 最大时,BC 的长是( ) A.1 B.5 C. D.

二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在 试卷相应位置上)

7.计算:( )﹣2+( +1)0= .

8.因式分解:a3﹣4a= .

9.计算:

=.

10.函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 . 11.某商场统计了去年 1~5 月 A,B 两种品牌冰箱的销售情况.

A 品牌(台) 15 17 16 13 14 B 品牌(台) 10 14 15 16 20 则这段时间内这两种品牌冰箱月销售量较稳定的是 (填“A”或“B”). 12.如图,将三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=55°,则∠2 的度数为 °.
13.已知 m、n 是一元二次方程 ax2+2x+3=0 的两个根,若 m+n=2,则 mn= . 14.某小组计划做一批中国结,如果每人做 6 个,那么比计划多做了 9 个;如果每人做 4 个,那么 比计划少 7 个.设计划做 x 个中国结,可列方程 . 15.如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成,若圆的半径为 2 ,则图中阴影部分的面 积为 .

16.已知二次函数 y=ax2+bx+c 与自变量 x 的部分对应值如表:

x … ﹣1 0

1

3



y … ﹣3 1

3

1



现给出下列说法:

①该函数开口向下.

②该函数图象的对称轴为过点(1,0)且*行于 y 轴的直线.

③当 x=2 时,y=3. ④方程 ax2+bx+c=﹣2 的正根在 3 与 4 之间.

其中正确的说法为 .(只需写出序号)

三、解答题(本大题共 11 小题,共 88 分.请在答题卷指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.解不等式:1﹣ ≥ ,并写出它的所有正整数解. 18.化简: ÷(x+2﹣ )

19.(1)解方程组

(2)请运用解二元一次方程组的思想方法解方程组



20.网瘾低龄化问题已经引起社会各界的高度关注,有关部门在全国范围内对 12﹣35 岁的网瘾人群 进行了简单的随机抽样调查,绘制出如图两幅统计图.

请根据图中的信息,回答下列问题: (1)这次抽样调查中共调查了 人,并请补全条形统计图; (2)扇形统计图中 18﹣23 岁部分的圆心角的度数是 度; (3)据报道,目前我国 12﹣35 岁网瘾人数约为 2000 万,请估计其中 12﹣23 岁的人数. 21.初三(1)班要从、乙、丙、丁这 4 名同学中随机选取 2 名同学参加学校毕业生代表座谈会,求 下列事件的概率. (1)已确定甲参加,另外 1 人恰好选中乙; (2)随机选取 2 名同学,恰好选中甲和乙. 22.将*行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠,使点 C 与 A 重合,点 D 落到 D′处,折痕为 EF. (1)求证:△ABE≌△AD′F; (2)连接 CF,判断四边形 AECF 是什么特殊四边形?证明你的结论.
23.如图,两棵大树 AB、CD,它们根部的距离 AC=4m,小强沿着正对这两棵树的方向前进.如果小 强的眼睛与地面的距离为 1.6m,小强在 P 处时测得 B 的仰角为 20.3°,当小强前进 5m 达到 Q 处时, 视线恰好经过两棵树的顶端 B 和 D,此时仰角为 36.42°.

(1)求大树 AB 的高度; (2)求大树 CD 的高度. (参考数据:sin20.3°≈0.35,cos20.3°≈0.94,tan20.3°≈0.37;sin36.42°≈0.59,cos36.42°≈0.80, tan36.42°≈0.74)
24.把一根长 80cm 的铁丝分成两个部分,分别围成两个正方形. (1)能否使所围的两个正方形的面积和为 250cm2,并说明理由; (2)能否使所围的两个正方形的面积和为 180cm2,并说明理由; (3)怎么分,使围成两个正方形的面积和最小? 25.如图,正比例函数 y=2x 的图象与反比例函数 y= 的图象交于点 A、B,AB=2 , (1)求 k 的值; (2)若反比例函数 y= 的图象上存在一点 C,则当△ABC 为直角三角形,请直接写出点 C 的坐标.
26.如图,在⊙O 的内接四边形 ACDB 中,AB 为直径,AC:BC=1:2,点 D 为弧 AB 的中点,BE⊥CD 垂足为 E. (1)求∠BCE 的度数; (2)求证:D 为 CE 的中点; (3)连接 OE 交 BC 于点 F,若 AB= ,求 OE 的长度.

27.在△ABC 中,用直尺和圆规作图(保留作图痕迹).
(1)如图①,在 AC 上作点 D,使 DB+DC=AC. (2)如图②,作△BCE,使∠BEC=∠BAC,CE=BE; (3)如图③,已知线段 a,作△BCF,使∠BFC=∠A,BF+CF=a.

2016 年江苏省南京市联合体中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分,在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是 符合题目要求的) 1.|﹣2|的值是( ) A.﹣2 B.2 C. D.﹣ 【考点】绝对值. 【分析】根据绝对值的性质作答. 【解答】解:∵﹣2<0, ∴|﹣2|=2. 故选 B.
2.已知某种纸一张的厚度约为 0.0089cm,用科学记数法表示这个数为( ) A.8.9×10﹣5 B.8.9×10﹣4 C.8.9×10﹣3 D.8.9×10﹣2 【考点】科学记数法—表示较小的数. 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 a×10﹣n,与较大数的科学记 数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决 定. 【解答】解:0.008 9=8.9×10﹣3. 故选:C.
3.计算 a3?(﹣a)2 的结果是( ) A.a5 B.﹣a5 C.a6 D.﹣a6 【考点】单项式乘单项式;幂的乘方与积的乘方. 【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则,以及单项式乘单项式法则计算即可得到结果. 【解答】解:原式=a3?a2=a5, 故选 A.

4.如图,矩形 ABCD 的边 AD 长为 2,AB 长为 1,点 A 在数轴上对应的数是﹣1,以 A 点为圆心,对 角线 AC 长为半径画弧,交数轴于点 E,则这个点 E 表示的实数是( )

A. +1 B. C. ﹣1 D.1﹣ 【考点】实数与数轴;勾股定理. 【分析】首先根据勾股定理计算出 AC 的长,进而得到 AE 的长,再根据 A 点表示﹣1,可得 E 点表示 的数. 【解答】解:∵AD 长为 2,AB 长为 1,

∴AC=

=,

∵A 点表示﹣1, ∴E 点表示的数为: 故选:C.

﹣1,

5.已知一次函数 y=ax﹣x﹣a+1(a 为常数),则其函数图象一定过象限( ) A.一、二 B.二、三 C.三、四 D.一、四 【考点】一次函数图象与系数的关系. 【分析】分两种情况讨论即可. 【解答】解:一次函数 y=ax﹣x﹣a+1=(a﹣1)x﹣(a﹣1), 当 a﹣1>0 时,﹣(a﹣1)<0,图象经过一、三、四象限; 当 a﹣1<0 时,﹣(a﹣1)>0,图象经过一、二、四象限; 所以其函数图象一定过一、四象限, 故选 D.

6.在△ABC 中,AB=3,AC=2.当∠B 最大时,BC 的长是( ) A.1 B.5 C. D. 【考点】切线的性质. 【分析】以 AC 为直径作⊙O,当 BC 为⊙O 的切线时,即 BC⊥AC 时,∠B 最大,根据勾股定理即可 求出答案.

【解答】解:以 AC 为直径作⊙O,当 BC 为⊙O 的切线时,即 BC⊥AC 时,∠B 最大,

此时 BC=

=

=.

故选 D.

二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在 试卷相应位置上) 7.计算:( )﹣2+( +1)0= 10 . 【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂. 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果. 【解答】解:原式=9+1=10, 故答案为:10

8.因式分解:a3﹣4a= a(a+2)(a﹣2) . 【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【分析】首先提取公因式 a,进而利用*方差公式分解因式得出即可. 【解答】解:a3﹣4a=a(a2﹣4)=a(a+2)(a﹣2). 故答案为:a(a+2)(a﹣2).

9.计算:

= ﹣1 .

【考点】二次根式的乘除法. 【分析】根据二次根式的乘除法,即可解答.

【解答】解:



故答案为: ﹣1.

10.函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 x≥1 . 【考点】函数自变量的取值范围;二次根式有意义的条件. 【分析】当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.即 x﹣1≥0. 【解答】解:依题意,得 x﹣1≥0, 解得 x≥1.

11.某商场统计了去年 1~5 月 A,B 两种品牌冰箱的销售情况. A 品牌(台) 15 17 16 13 14 B 品牌(台) 10 14 15 16 20 则这段时间内这两种品牌冰箱月销售量较稳定的是 A (填“A”或“B”). 【考点】方差. 【分析】先利用方差公式分别计算出 A、B 品牌的方差,然后根据方差的意义判断这两种品牌冰箱月 销售量的稳定性.

【解答】解:A 品牌的销售量的*均数为

=15,

B 品牌的销售量的*均数为

=15,

A 品牌的方差= [(13﹣15)2+(14﹣15)2+(15﹣15)2+(16﹣15)2+[(17﹣15)2]=2,

B 品牌的方差= [(10﹣15)2+(14﹣15)2+(15﹣15)2+(16﹣15)2+[(20﹣15)2]=10.4, 因为 10.4>2,所以 A 品牌的销售量较为稳定 A, 故答案为 A.

12.如图,将三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=55°,则∠2 的度数为 35 °.

【考点】*行线的性质;余角和补角. 【分析】根据*角等于 180°求出∠3,再根据两直线*行,同位角相等可得∠2+90°=∠3. 【解答】解:如图:

∵∠3=180°﹣∠1=180°﹣55°=125°, ∵直尺两边互相*行, ∴∠2+90°=∠3, ∴∠2=125°﹣90°=35°.

故答案为:35.

13.已知 m、n 是一元二次方程 ax2+2x+3=0 的两个根,若 m+n=2,则 mn= ﹣3 . 【考点】根与系数的关系. 【分析】根据根与系数的关系得到 m+n=2,mn= ,然后利用整体代入的方法计算即可.
【解答】解:根据题意得 m+n=﹣ =2, ∴a=﹣1, ∴mn=﹣3, 故答案为﹣3.

14.某小组计划做一批中国结,如果每人做 6 个,那么比计划多做了 9 个;如果每人做 4 个,那么

比计划少 7 个.设计划做 x 个中国结,可列方程

=



【考点】由实际问题抽象出一元一次方程. 【分析】设计划做 x 个“中国结”,根据小组人数不变列出方程. 【解答】解:设计划做 x 个“中国结”,根据题意得

=.

故答案为 = .

15.如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成,若圆的半径为 2 ,则图中阴影部分的面 积为 12 .

【考点】正多边形和圆. 【分析】根据题意得到图中阴影部分的面积=S△ABC+3S△ADE,代入数据即可得到结论. 【解答】解:如图,∵“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成, ∴△ABC 与△ADE 是等边三角形, ∵圆的半径为 2 ,

∴AH=3 ,BC=AB=6, ∴AE=2,AF= , ∴图中阴影部分的面积=S△ABC+3S△ADE= 故答案为:12 .

6×3 +

2× =12 ,

16.已知二次函数 y=ax2+bx+c 与自变量 x 的部分对应值如表:

x … ﹣1 0

1

3



y … ﹣3 1

3

1



现给出下列说法:

①该函数开口向下.

②该函数图象的对称轴为过点(1,0)且*行于 y 轴的直线.

③当 x=2 时,y=3. ④方程 ax2+bx+c=﹣2 的正根在 3 与 4 之间.

其中正确的说法为 ①③④ .(只需写出序号)

【考点】二次函数的性质.

【分析】利用表中函数值的变换情况可判断抛物线的开口方向,则可对①进行判断;利用 x=0 和 x=3

时函数值相等可得到抛物线的对称轴方程,则可对②进行判断;利用抛物线的对称性可得 x=1 和 x=2

的函数值相等,则可对③进行判断;利用抛物线的对称性可得 x=﹣1 和 x=4 的函数值相等,则可对④

进行判断.

【解答】解:∵二次函数值先由小变大,再由大变小,

∴抛物线的开口向下,所以①正确;

∵抛物线过点(0,1)和(3,1),

∴抛物线的对称轴为直线 x= ,所以②错误;

点(1,3)和点(2,3)为对称点,所以③正确; ∵x=﹣1 时,y=﹣3, ∴x=4 时,y=﹣3,

∴二次函数 y=ax2+bx+c 的函数值为﹣2 时,﹣1<x<0 或 3<x<4, 即方程 ax2+bx+c=﹣2 的负根在﹣1 与 0 之间,正根在 3 与 4 之间,所以④正确. 故答案为①③④.
三、解答题(本大题共 11 小题,共 88 分.请在答题卷指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.解不等式:1﹣ ≥ ,并写出它的所有正整数解. 【考点】一元一次不等式的整数解;解一元一次不等式. 【分析】去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为 1 即可求得不等式的解集,然后确定正整 数解即可. 【解答】解:去分母,得:6﹣2(2x+1)≥3(1﹣x), 去括号,得:6﹣4x+2≥3﹣3x, 移项,合并同类项得:﹣x≥﹣5, 系数化为 1 得:x≤5. 它的所有正整数解 1,2,3,4,5.

18.化简: ÷(x+2﹣ ) 【考点】分式的混合运算. 【分析】首先把括号里的式子进行通分,然后把除法运算转化成乘法运算,进行约分化简. 【解答】解: ÷(x+2﹣ )

= ÷(



=?

=.

故答案为 .

19.(1)解方程组

(2)请运用解二元一次方程组的思想方法解方程组



【考点】解一元二次方程﹣因式分解法;解二元一次方程组. 【分析】(1)把①代入②得:3x﹣2(x+1)=﹣1,求出解 x=1,再把 x=1 代入①得:y=2 即可, (2)由①得:x=1﹣y③,再把③代入②得:1﹣y+y2=3,解得:y1=﹣1,y2=2,把 y1=﹣1,y2=2 分别 代入③得:x1=2,x2=﹣1 即可. 【解答】解:(1) 把①代入②得:3x﹣2(x+1)=﹣1, 解得:x=1. 把 x=1 代入 y①得:y=2. ∴方程组的解为 ,

(2)

由①得:x=1﹣y③ 把③代入②得:1﹣y+y2=3,

解得:y1=﹣1,y2=2, 把 y1=﹣1,y2=2 分别代入③得: 得:x1=2,x2=﹣1,

∴方程组的解为





20.网瘾低龄化问题已经引起社会各界的高度关注,有关部门在全国范围内对 12﹣35 岁的网瘾人群 进行了简单的随机抽样调查,绘制出如图两幅统计图.

请根据图中的信息,回答下列问题: (1)这次抽样调查中共调查了 1500 人,并请补全条形统计图; (2)扇形统计图中 18﹣23 岁部分的圆心角的度数是 108 度; (3)据报道,目前我国 12﹣35 岁网瘾人数约为 2000 万,请估计其中 12﹣23 岁的人数.

【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图. 【分析】(1)根据 30﹣35 岁的人数除以所占的百分比,可得调查的人数;根据有理数的减法,可得 12﹣17 岁的人数; (2)根据 18﹣23 岁的人数除以抽查的人数乘以 360°,可得答案; (3)根据总人数乘以 12﹣23 岁的人数所占的百分比,可得答案. 【解答】解:(1)这次抽样调查中共调查了 330÷22%=1500(人), 12﹣17 岁的人数为:1500﹣450﹣420﹣330=300(人), 补全条形图如图:

(2)扇形统计图中 18﹣23 岁部分的圆心角的度数是 ×360°=108°;

(3)2000×

=1000(万人),

答:估计其中 12﹣23 岁的人数约 1000 万人. 故答案为:(1)1500;(2)108.

21.初三(1)班要从、乙、丙、丁这 4 名同学中随机选取 2 名同学参加学校毕业生代表座谈会,求 下列事件的概率. (1)已确定甲参加,另外 1 人恰好选中乙; (2)随机选取 2 名同学,恰好选中甲和乙. 【考点】列表法与树状图法. 【分析】(1)直接根据概率公式求解; (2)画树状图展示所有 12 种等可能的结果数,再找出恰好选中甲和乙的结果数,然后根据概率公 式求解.
【解答】解:(1)另外 1 人恰好选中副班长的概率是 ;

(2)画树状图为:
共有 12 种等可能的结果数,其中恰好选中甲和乙的结果数为 2, 所以恰好选中班长和副班长的概率= = .
22.将*行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠,使点 C 与 A 重合,点 D 落到 D′处,折痕为 EF. (1)求证:△ABE≌△AD′F; (2)连接 CF,判断四边形 AECF 是什么特殊四边形?证明你的结论.
【考点】全等三角形的判定;菱形的判定. 【分析】(1)根据*行四边形的性质及折叠的性质我们可以得到∠B=∠D′,AB=AD′,∠1=∠3,从而 利用 ASA 判定△ABE≌△AD′F; (2)四边形 AECF 是菱形,我们可以运用菱形的判定,有一组邻边相等的*行四边形是菱形来进行 验证. 【解答】(1)证明:由折叠可知:∠D=∠D′,CD=AD′, ∠C=∠D′AE. ∵四边形 ABCD 是*行四边形, ∴∠B=∠D,AB=CD,∠C=∠BAD. ∴∠B=∠D′,AB=AD′,∠D′AE=∠BAD, 即∠1+∠2=∠2+∠3. ∴∠1=∠3. 在△ABE 和△AD′F 中 ∵ ∴△ABE≌△AD′F(ASA).

(2)解:四边形 AECF 是菱形. 证明:由折叠可知:AE=EC,∠4=∠5. ∵四边形 ABCD 是*行四边形, ∴AD∥BC. ∴∠5=∠6. ∴∠4=∠6. ∴AF=AE. ∵AE=EC, ∴AF=EC. 又∵AF∥EC, ∴四边形 AECF 是*行四边形. 又∵AF=AE, ∴*行四边形 AECF 是菱形.
23.如图,两棵大树 AB、CD,它们根部的距离 AC=4m,小强沿着正对这两棵树的方向前进.如果小 强的眼睛与地面的距离为 1.6m,小强在 P 处时测得 B 的仰角为 20.3°,当小强前进 5m 达到 Q 处时, 视线恰好经过两棵树的顶端 B 和 D,此时仰角为 36.42°. (1)求大树 AB 的高度; (2)求大树 CD 的高度. (参考数据:sin20.3°≈0.35,cos20.3°≈0.94,tan20.3°≈0.37;sin36.42°≈0.59,cos36.42°≈0.80, tan36.42°≈0.74)

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题;视点、视角和盲区.

【分析】(1)在 Rt△GEB 中,得到 EG=

= ,在 Rt△GBF 中,得到 FG=

根据已知条件即可得到结论; (2)根据(1)的结论得到 FH=FG+GH=9,根据三角函数的定义即可得到结论. 【解答】解:(1)解:在 Rt△BEG 中,BG=EG×tan∠BEG, 在 Rt△BFG 中,BG=FG×tan∠BFG, 设 FG=x 米,(x+5)0.37=0.74x, 解得 x=5, BG=FG×tan∠BFG=0.74×5=3.7, AB=AG+BG=3.7+1.6=5.3 米, 答:大树 AB 的高度为 5.3 米.

=,

(2)在 Rt△DFG 中,DH=FH×tan∠DFG=(5+4)×0.74=6.66 米, CD=DH+HC=6.66+1.6=8.26 米, 答:大树 CD 的高度为 8.26 米.

24.把一根长 80cm 的铁丝分成两个部分,分别围成两个正方形. (1)能否使所围的两个正方形的面积和为 250cm2,并说明理由; (2)能否使所围的两个正方形的面积和为 180cm2,并说明理由; (3)怎么分,使围成两个正方形的面积和最小? 【考点】二次函数的应用;一元二次方程的应用. 【分析】(1)设其中一个正方形的边长为 x cm,则另一个正方形的边长为(20﹣x)cm,就可以表示 出这两个正方形的面积,根据两个正方形的面积之和等于 250cm2 建立方程求出其解即可; (2)根据题意建立方程 x2+(20﹣x)2=180,再判定该一元二次方程是否有解即可;

(3)设所围面积和为 y cm2,则有 y=x2+(20﹣x)2,再求二次函数最值即可. 【解答】解:(1)设其中一个正方形的边长为 x cm,则另一个正方形的边长为(20﹣x)cm, 由题意得:x2+(20﹣x)2=250, 解得 x1=5,x2=15, 当 x=5 时,4x=20,4(20﹣x)=60, 当 x=15 时,4x=60,4(20﹣x)=20, 答:能,长度分别为 20cm 与 60cm;
(2)x2+(20﹣x)2=180, 整理:x2﹣20x+110=0, ∵b2﹣4ac=400﹣440=﹣40<0, ∴此方程无解,即不能围成两个正方形的面积和为 180cm2;
(3)设所围面积和为 y cm2, y=x2+(20﹣x)2, =2 x2﹣40x+400 =2( x﹣10)2+200, 当 x=10 时,y 最小为 200.4x=40,4(20﹣x)=40, 答:分成 40cm 与 40cm,使围成两个正方形的面积和最小为 200 cm.
25.如图,正比例函数 y=2x 的图象与反比例函数 y= 的图象交于点 A、B,AB=2 , (1)求 k 的值; (2)若反比例函数 y= 的图象上存在一点 C,则当△ABC 为直角三角形,请直接写出点 C 的坐标.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】(1)过点 A 作 AD⊥x 轴,垂足为 D,由点 A、B 的对称性可知 OA= ,根据点在直线上,设

点 A 的坐标为(a,2a),在 Rt△OAD 中,通过勾股定理即可求出点 A 的坐标,由点 A 的坐标利用待 定系数法即可求出结论; (2)由点 A、B 的对称性结合点 A 的坐标求出点 B 的坐标,根据点 C 在反比例函数图象上,设出点 C 的坐标为(n, ),分△ABC 三个角分别为直角来考虑,利用“两直线垂直斜率之积为﹣1(斜率都 存在)”求出点 C 的坐标. 【解答】解:(1)过点 A 作 AD⊥x 轴,垂足为 D,如图 1 所示.

由题意可知点 A 与点 B 关于点 O 中心对称,且 AB=2 , ∴OA=OB= . 设点 A 的坐标为(a,2a), 在 Rt△OAD 中,∠ADO=90°,由勾股定理得: a2+(2a)2=( )2, 解得:a=1, ∴点 A 的坐标为(1,2). 把 A(1,2)代入 y= 中得:2= , 解得:k=2. (2)∵点 A 的坐标为(1,2),点 A、B 关于原点 O 中心对称, ∴点 B 的坐标为(﹣1,﹣2). 设点 C 的坐标为(n, ),
△ABC 为直角三角形分三种情况: ①∠ABC=90°,则有 AB⊥BC,

?

=﹣1,即 n2+5n+4,

解得:n1=﹣4,n2=﹣1(舍去), 此时点 C 的坐标为(﹣4,﹣ );

②∠BAC=90°,则有 BA⊥AC, ? =﹣1,即 n2﹣5n+4=0,
解得:n3=4,n4=1(舍去), 此时点 C 的坐标为(4, ); ③∠ACB=90°,则有 AC⊥BC,
? =﹣1,即 n2=4, 解得:n5=﹣2,n6=2, 此时点 C 的坐标为(﹣2,﹣1)或(2,1). 综上所述:当△ABC 为直角三角形,点 C 的坐标为(﹣4,﹣ )、(4, )、(﹣2,﹣1)或(2,1).
26.如图,在⊙O 的内接四边形 ACDB 中,AB 为直径,AC:BC=1:2,点 D 为弧 AB 的中点,BE⊥CD 垂足为 E. (1)求∠BCE 的度数; (2)求证:D 为 CE 的中点; (3)连接 OE 交 BC 于点 F,若 AB= ,求 OE 的长度.
【考点】圆的综合题. 【分析】(1)连接 AD,由 D 为弧 AB 的中点,得到 AD=BD,根据圆周角定理即可得到结论; (2)由已知条件得到∠CBE=45°,根据圆内接四边形的性质得到∠A=∠BD,根据相似三角形的性质 得到 DE:AC=BE:BC,即可得到结论. (3)连接 CO,根据线段垂直*分线的判定定理得到 OE 垂直*分 BC,由三角形的中位线到现在得到 OF= AC,根据直角三角形的性质得到 EF= BC,由勾股定理即可得到结论. 【解答】(1)解:连接 AD,

∵D 为弧 AB 的中点, ∴AD=BD, ∵AB 为直径, ∴∠ADB=90°, ∴∠DAB=∠DBA=45°, ∴∠DCB=∠DAB=45°;
(2)证明:∵BE⊥CD,又∵∠ECB=45°, ∴∠CBE=45°, ∴CE=BE, ∵四边形 ACDB 是圆 O 的内接四边形, ∴∠A+∠BDC=180°, 又∵∠BDE+∠BDC=180°, ∴∠A=∠BD, 又∵∠ACB=∠BED=90°, ∴△ABC∽△DBE, ∴DE:AC=BE:BC, ∴DE:BE=AC:BC=1:2, 又∵CE=BE, ∴DE:CE=1:2, ∴D 为 CE 的中点;
(3)解:连接 CO, ∵CO=BO,CE=BE, ∴OE 垂直*分 BC, ∴F 为 OE 中点, 又∵O 为 BC 中点, ∴OF 为△ABC 的中位线, ∴OF= AC, ∵∠BEC=90°,EF 为中线,

∴EF= BC, 在 Rt△ACB 中,AC2+BC2=AB2, ∵AC:BC=1:2,AB= , ∴AC= ,BC=2 , ∴OE=OF+EF=1.5 .
27.在△ABC 中,用直尺和圆规作图(保留作图痕迹).
(1)如图①,在 AC 上作点 D,使 DB+DC=AC. (2)如图②,作△BCE,使∠BEC=∠BAC,CE=BE; (3)如图③,已知线段 a,作△BCF,使∠BFC=∠A,BF+CF=a. 【考点】作图—复杂作图. 【分析】(1)根据垂直*分线性质作 AB 的垂直*分线即可解决问题. (2)作线段 AB、BC 的垂直*分线,以及△ABC 的外接圆即可解决问题. (3)按照(2)的方法找到点 E,再以点 E 为圆心,以 EC 或 EB 长为半径作圆,再以点 B 为圆心,a 长为半径作圆,两圆的交点为点 H,再连接 BH,交△ABC 的外接圆于点 F,则点 F 为所求. 【解答】解:(1)作 AB 的垂直*分线 EF 交 AC 于点 D,此时 DB+DC=AC,如图 1 所示,

(2)作线段 AB、BC 的垂直*分线交于点 O,以 O 为圆心,OA 为半径作⊙O,交 BC 的垂直*分线 于 E,LJ EC、EB,△BCE 就是所求是三角形.如图 2 所示,
(3)按照(2)的方法找到点 E,再以点 E 为圆心,以 EC 或 EB 长为半径作圆,再以点 B 为圆心,a 长为半径作圆,两圆的交点为点 H 和 H′,再连接 BH 或 BH′交△ABC 的外接圆于点 F,则点 F 或 F′为 所求.如图 3 所示,


2017 年 3 月 1 日


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