2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版:第三章 圆锥曲线与方程 §1 1.2 椭圆的简单性质(一)

发布于:2021-06-18 16:01:26

1.2 椭圆的简单性质(一)
学*目标 1.依据椭圆的方程研究椭圆的简单性质,并正确地画出它的图形.2.依据几何条 件求出椭圆方程,并利用椭圆方程研究它的性质、图形.

知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点

思考 在画椭圆图形时,怎样才能画的更准确些?

答案 在画椭圆时,可先画一个矩形,矩形的顶点为(-a,b),(a,b),(-a,-b),(a,-

b).

梳理 椭圆的简单性质

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

标准方程

ax22+by22=1(a>b>0)

ay22+bx22=1(a>b>0)

图形

焦点坐标 对称性
顶点坐标
范围 长轴、短轴

(±c,0)

(0,±c)

以 x 轴,y 轴为对称轴的轴对称图形,以原点为对称中心的中心对称图形

A1(-a,0),A2(a,0),

A1(0,-a),A2(0,a),

B1(0,-b),B2(0,b)

B1(-b,0),B2(b,0)

|x|≤a,|y|≤b

|x|≤b,|y|≤a

长轴 A1A2 的长为 2a,短轴 B1B2 的长为 2b

知识点二 椭圆的离心率 椭圆的焦距与长轴长度的比ac称为椭圆的离心率,即ac=e,因为 a>c,故椭圆离心率 e 的取 值范围为(0,1),当 e 趋*于 1 时,椭圆越扁,当 e 趋*于 0 时,椭圆越圆.

1

1.椭圆ax22+by22=1(a>b>0)的长轴长是 a.(×) 2.椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆.(×) 3.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为 10,8,则椭圆的方程为2x52 +1y62 =1.(×) 4.设 F 为椭圆ax22+by22=1(a>b>0)的一个焦点,M 为其上任一点,则|MF|的最大值为 a+c(c 为椭圆的半焦距).(√)

类型一 椭圆的简单性质

例 1 求椭圆 m2x2+4m2y2=1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 考点 椭圆的简单性质

题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性



由已知得

x2 1



y2 1

=1(m>0),

m2 4m2

因为 0<m2<4m2,

所以m12>4m1 2,

所以椭圆的焦点在 x 轴上,并且长半轴长 a=m1 ,

短半轴长 b=21m,半焦距 c=2m3,

所以椭圆的长轴长 2a=m2 ,短轴长 2b=m1 ,

焦点坐标为??-2m3,0??,??2m3,0??, 顶点坐标为??m1 ,0??,??-m1 ,0??,??0,-21m??,??0,21m??,

3

离心率

e=ac=21m=

3 2.

m

反思与感悟 从椭圆的标准方程出发,分清其焦点位置,然后再写出相应的性质.

跟踪训练 1 已知椭圆 C1:1x020+6y42 =1,设椭圆 C2 与椭圆 C1 的长轴长、短轴长分别相等, 且椭圆 C2 的焦点在 y 轴上.

2

(1)求椭圆 C1 的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率; (2)写出椭圆 C2 的方程,并研究其性质. 考点 椭圆的简单性质

题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性

解 (1)由椭圆 C1:1x020+6y42 =1,可得其长半轴长为 10,短半轴长为 8,焦点坐标为(6,0),(-

6,0),离心率 e=35.

(2)椭圆 C2:1y020+6x42 =1.性质如下:

①范围:-8≤x≤8,-10≤y≤10;②对称性:关于 x 轴、y 轴、原点对称;③顶点:长轴

端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0);④焦点:(0,6),(0,-6);⑤离心率:e=35.

类型二 由简单性质求椭圆的标准方程

例 2 (1)椭圆以两坐标轴为对称轴,并且过点(0,13),(-10,0),则焦点坐标为( )

A.(±13,0)

B.(0,±10)

C.(0,±13)

D.(0,± 69)

考点 椭圆的简单性质

题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性

答案 D

解析 由题意知,椭圆的焦点在 y 轴上,

且 a=13,b=10,则 c= a2-b2= 69,故选 D. (2)已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的 标准方程是___________________________________________________________. 考点 椭圆的简单性质 题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 1x62 +y42=1

解析

?? a=2b, 由已知,得焦点在 x 轴上,且?c=2 3,
??a2-b2=c2,

∴???b2=4, ??a2=16,
∴所求椭圆的标准方程为1x62 +y42=1. 反思与感悟 此类问题应由所给的简单性质充分找出 a,b,c 所应满足的关系式,进而求出

3

a,b,在求解时,需注意椭圆的焦点位置. 跟踪训练 2 根据下列条件,求中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆方程: (1)长轴长是短轴长的 2 倍,且过点(2,-6); (2)焦点在 x 轴上,一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直,且半焦距为 6. 考点 由椭圆的简单性质求方程

题点 由椭圆的几何特征求方程

解 (1)当焦点在 x 轴上时,设椭圆方程为ax22+by22=1(a>b>0).

??2b=a,

?a=2 37,

依题意,有???a42+3b62 =1,

解得? ?b= 37,

∴椭圆方程为1x428+3y72 =1. 同样地可求出当焦点在 y 轴上时, 椭圆方程为1x32 +5y22 =1. 故所求的椭圆方程为1x428+3y72 =1 或1x32 +5y22 =1.

(2)依题意,有?????bc==6c, ,

∴b=c=6, ∴a2=b2+c2=72, ∴所求的椭圆方程为7x22 +3y62 =1.

类型三 求椭圆的离心率 例 3 设椭圆的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形,求椭圆的离心率.

考点 椭圆的离心率问题 题点 求 a,b,c 的齐次关系式得离心率 解 设椭圆方程为ax22+by22=1(a>b>0). ∵F1(-c,0),∴P(-c,yp),代入椭圆方程得
4

ac22+by2p2=1,∴yp2=ba42, ∴|PF1|=ba2=|F1F2|,即ba2=2c, 又∵b2=a2-c2,∴a2-a c2=2c,

∴e2+2e-1=0,又∵0<e<1,∴e= 2-1. 反思与感悟 求解椭圆的离心率,其实质就是构建 a,b,c 之间的关系式,再结合 b2=a2 -c2,从而得到 a,c 之间的关系式,进而确定其离心率. 跟踪训练 3 设椭圆 C:ax22+by22=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点, PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为( )

311 3 A. 6 B.3C.2D. 3 考点 椭圆的离心率问题

题点 求 a,b,c 得离心率 答案 D 解析 由题意可设|PF2|=m(m>0),结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|= 3m,故离心率 e=ac=

22ac=|PF|1F|+1F|2P| F2|=2m3+mm=

3 3.

1.椭圆 9x2+y2=36 的短轴长为( ) A.2B.4C.6D.12 考点 椭圆的简单性质

题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性

答案 B 解析 原方程可化为x42+3y62 =1,所以 b2=4,b=2,从而短轴长为 2b=4. 2.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( )

1

3

A.2

B. 2

3 C. 4 考点 椭圆的离心率问题

6 D. 4

5

题点 求 a,b,c 得离心率 答案 A 解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为 F1,F2,B 为椭圆的上顶点.

依题意可知,△BF1F2 是正三角形. ∵在 Rt△OBF2 中,|OF2|=c, |BF2|=a,∠OF2B=60°,

∴e=ac=cos 60°=12,

即椭圆的离心率 e=12,故选 A.

3.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于12,则 C 的方程是( )

A.x32+y42=1

B.x42+

y2 =1 3

C.x42+y32=1

D.x42+y2=1

考点 由椭圆的简单性质求方程

题点 由椭圆的性质求方程

答案 C

解析 依题意知,所求椭圆的焦点位于 x 轴上,

且 c=1,e=ac=12,即 a=2,b2=a2-c2=3,

因此椭圆的方程是x42+y32=1.

4.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,两顶点分别是(4,0),(0,2),则此椭圆的

方程是________________________________________________________________________.

考点 由椭圆的简单性质求方程

题点 由椭圆的性质求方程

答案 1x62 +y42=1

解析 由已知,得 a=4,b=2,且椭圆的焦点在 x 轴上,所以椭圆的方程是1x62 +y42=1.

5.求椭圆 25x2+16y2=400 的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.

考点 由椭圆方程研究简单性质

6

题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 解 将椭圆方程变形为2y52 +1x62 =1, 得 a=5,b=4,所以 c=3, 故椭圆的长轴长和短轴长分别为 2a=10,2b=8, 离心率 e=ac=35, 焦点坐标为(0,-3),(0,3), 顶点坐标为(0,-5),(0,5),(-4,0),(4,0).
求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法:若已知 a,c 可直接利用 e=ac求解.若已知 a,b 或 b,c 可借助于 a2=b2+c2 求 出 c 或 a,再代入公式 e=ac求解. (2)方程法:若 a,c 的值不可求,则可根据条件建立 a,b,c 的关系式,借助于 a2=b2+c2, 转化为关于 a,c 的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂,得到 关于 e 的方程或不等式,即可求得 e 的值或范围.

一、选择题

1.已知椭圆的方程为 2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为( )

1 3 21 A.3B. 3 C. 2 D.2 考点 由椭圆方程研究简单性质

题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率

答案 B
解析 由 2x2+3y2=m(m>0),得xm2+ym2=1, 23

∴c2=m2 -m3 =m6 ,∴e2=13,∴e=

3 3.

2.与椭圆 9x2+4y2=36 有相同焦点,且短轴长为 2 的椭圆的标准方程是( )

A.x22+y42=1

B.x2+y62=1

C.x62+y2=1

D.x82+y52=1

7

考点 由椭圆的简单性质求方程

题点 由椭圆的性质求方程

答案 B

解析 由已知 c= 5,b=1,∴a2=b2+c2=6,且焦点在 y 轴上, ∴椭圆的标准方程为y62+x2=1. 3.椭圆 4x2+49y2=196 的长轴长、短轴长、离心率依次是( )

A.7,2,3 7 5

B.14,4,3 7 5

C.7,2,

5 7

考点 由椭圆方程研究简单性质

D.14,4,

5 7

题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率

答案 B 解析 先将椭圆方程化为标准形式为4x92 +y42=1,

其中 b=2,a=7,c=3 5.

4.焦点在 x 轴上,长、短半轴长之和为 10,焦距为 4 5,则椭圆的方程为( )

A.3x62 +1y62 =1

B.1x62 +3y62 =1

C.x62+y42=1

D.y62+x42=1

考点 由椭圆的简单性质求方程

题点 由椭圆的特征求方程

答案 A

解析 依题意得 c=2 5,a+b=10,又 a2=b2+c2,所以解得 a=6,b=4.

5.若焦点在 x 轴上的椭圆x22+ym2=1 的离心率为12,则 m 等于(

)

382 A. 3B.2C.3D.3

考点 由椭圆方程研究简单性质

题点 由椭圆的特征求方程

答案 B

解析 ∵a2=2,b2=m,e=ac= 1-ba22= 1-m2 =12,∴m=32. 6.椭圆(m+1)x2+my2=1 的长轴长是( )

2 m-1 A. m-1

-2 -m B. m

8

2m C. m

D.-2

1-m m-1

考点 由椭圆方程研究简单性质

题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率

答案 C

解析

椭圆方程可化简为

x2 1

+y12=1,

1+m m

由题意,知 m>0,∴1+1 m<m1 ,∴a= mm,

∴椭圆的长轴长

2a=2

m m.

7.设 F1,F2 是椭圆 E:ax22+by22=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x=32a上一点,△F2PF1

是底角为 30°的等腰三角形,则椭圆 E 的离心率为( )

1234 A.2B.3C.4D.5 考点 椭圆的离心率问题

题点 求 a,b,c 得离心率

答案 C

解析 设直线 x=32a与 x 轴交于点 M,则∠PF2M=60°,在 Rt△PF2M 中,|PF2|=|F1F2|=2c,

|F2M|=32a-c,故 cos60°=||FP2FM2||=32a2-c c=12,

解得ac=34, 故离心率 e=34. 二、填空题 8.A 为 y 轴上一点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,△AF1F2 为正三角形,且 AF1 的中点 B 恰 好在椭圆上,则此椭圆的离心率为________. 考点 椭圆的离心率问题 题点 求 a,b,c 得离心率 答案 3-1
9

解析 如图,连接 BF2.因为△AF1F2 为正三角形,且 B 为线段 AF1 的中点,

所以 F2B⊥BF1. 又因为∠BF2F1=30°,|F1F2|=2c, 所以|BF1|=c,|BF2|= 3c, 由椭圆定义得|BF1|+|BF2|=2a, 即 c+ 3c=2a,所以ac= 3-1, 所以椭圆的离心率 e= 3-1.
9.若椭圆ax22+by22=1 的焦点在 x 轴上,过点??1,12??作圆 x2+y2=1 的切线,切点分别为 A,B,
直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是____________. 考点 由椭圆的简单性质求方程

题点 由椭圆的特征求方程

答案 x52+y42=1 解析 ∵x=1 是圆 x2+y2=1 的一条切线, ∴椭圆的右焦点为(1,0),即 c=1.
设 P??1,12??,则 kOP=12,∵OP⊥AB,∴kAB=-2,则直线 AB 的方程为 y=-2(x-1),它与
y 轴的交点为(0,2).∴b=2,a2=b2+c2=5,故椭圆的方程为x52+y42=1. 10.已知椭圆 C 的上、下顶点分别为 B1,B2,左、右焦点分别为 F1,F2,若四边形 B1F1B2F2 是正方形,则此椭圆的离心率 e=________. 考点 椭圆的离心率问题

题点 求 a,b,c 得离心率

答案

2 2

解析 因为四边形 B1F1B2F2 是正方形,所以 b=c,

所以

a2=b2+c2=2c2,所以

e=ac=

2 2.

11.在△ABC 中,tanA=13,B=π4.若椭圆 E 以 AB 为长轴,且过点 C,则椭圆 E 的离心率是

________.

考点 椭圆的离心率问题

10

题点 求 a,b,c 得离心率

答案

6 3

解析



tan

A=13,得

sin

A=

1100,cosA=3

10 10 .

又 B=4π,∴sin B= 22,cosB= 22, 则 sin C=sin(A+B)=sin AcosB+cosAsinB



1100×

22+3 1010×

22=2

5

5 .

由正弦定理,得|BC|∶|CA|∶|AB|=sin A∶sinB∶sinC=1∶ 5∶2 2.

不妨取|BC|=1,|CA|= 5,|AB|=2 2.

以 AB 所在直线为 x 轴,AB 中点 O 为原点建立直角坐标系(C 在 x 轴上方),D 是 C 在 AB 上

的射影.

可求得|AD|=3 2 2,|OD|= 22,|CD|= 22,

∴点 C?? 22, 22??.设椭圆 E 的方程为ax22+by22=1(a>b>0),

则 a2=2,且21a2+21b2=1,解得 b2=23,

∴c2=a2-b2=2-23=43,

∴e2=ac22=23,又∵0<e<1,∴e=

6 3.

三、解答题

12.已知椭圆 x2+(m+3)y2=m(m>0),其焦距与长轴长的比值是 23,求 m 的值及椭圆的长

轴长、短轴长及顶点坐标.

考点 由椭圆方程研究简单性质

题点 由椭圆方程求顶点、焦点、长短轴、离心率



椭圆方程可化为xm2+

y2 m

=1.

m+3

因为 m>0,所以 m-m+m 3=mm?m++32?>0,

所以 m>m+m 3,所以 a2=m,b2=m+m 3,

所以 c= a2-b2=

m?m+2? m+3 .

11

由ac= 23,得 mm++23= 23,解得 m=1, 所以 a=1,b=12,则椭圆的标准方程为 x2+y12=1,
4 所以椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1,
四个顶点的坐标分别为(-1,0),(1,0),??0,-12??,??0,12??.
13.已知椭圆ax22+by22=1(a>b>0)的两个焦点分别为 F1,F2,斜率为 k 的直线 l 过左焦点 F1 且

与椭圆的交点为 A,B,与 y 轴的交点为 C,且 B 为线段 CF1 的中点,若|k|≤ 214,求椭圆离 心率 e 的取值范围. 考点 由椭圆方程研究简单性质

题点 由椭圆的特征求参数

解 依题意得 F1(-c,0),直线 l:y=k(x+c), 则 C(0,kc).
因为点 B 为线段 CF1 的中点,所以 B??-2c,k2c??. 因为点 B 在椭圆上,所以??-a22c??2+??k2bc2??2=1,
即4ca22+4?ak22-c2c2?=1. 所以e42+4?1k-2e2e2?=1,所以 k2=?4-e2e??21-e2?.

由|k|≤ 214,得 k2≤72,即?4-e2e??21-e2?≤72, 所以 2e4-17e2+8≤0.解得12≤e2≤8.

因为 0<e<1,所以12≤e2<1,即 22≤e<1,

即 e 的取值范围是?? 22,1??.
四、探究与拓展

14.已知 c 是椭圆ax22+by22=1(a>b>0)的半焦距,则b+a c的取值范围是(

)

A.(1+∞)

B.( 2,+∞)

C.(1, 2) 考点 由椭圆方程研究简单性质

D.(1, 2]

12

题点 由椭圆的特征求参数

答案 D

解析 椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形,两直角边长分别为 b,

c,斜边为 a,由直角三角形的两直角边之和大于斜边得 b+c>a,∴b+a c>1,又∵??b+a c??2

=b2+ca2+ 2 2bc≤2?b2a+2 c2?=2(当且仅当 b=c 时,取等号),∴1<b+a c≤ 2,故选 D.

15.设 F1,F2 分别是椭圆 E:ax22+by22=1(a>b>0)的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于

A,B 两点,|AF1|=3|F1B|. (1)若|AB|=4,△ABF2 的周长为 16,求|AF2|; (2)若 cos∠AF2B=35,求椭圆 E 的离心率.

考点 椭圆离心率问题

题点 求 a,b,c 得离心率

解 (1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4, 得|AF1|=3,|F1B|=1. 因为△ABF2 的周长为 16, 所以由椭圆定义可得 4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8, 故|AF2|=8-3=5. (2)设|F1B|=k,则 k>0 且|AF1|=3k,|AB|=4k. 由椭圆定义,得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. 在△ABF2 中,由余弦定理,得 |AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B,

即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-65(2a-3k)·(2a-k),

化简可得(a+k)(a-3k)=0,而 a+k>0,故 a=3k.

于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k,|AB|=4k. 因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得 F1A⊥F2A, 故△AF1F2 为等腰直角三角形.

从而

c=

22a,所以椭圆

E

的离心率

e=ac=

2 2.

13


相关推荐

最新更新

猜你喜欢